Recentemente vi uma postagem no Instagram que falava de uma soma de logaritmos:

$\log_2\left(1 + \frac{1}{1}\right) + \log_2\left(1 + \frac{1}{2}\right) + \cdots + \log_2\left(1 + \frac{1}{127}\right) = ?$

Então, como resolver?

O primeiro passo que imaginei foi: como eu consigo representar isso em forma de um somatório? Bem, vamos lá. Cada termo é fornecido na forma

$\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)$

então essa soma seria variar esses termos de 1 até 127:

$\sum_{n = 1}^{127}\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)$

E, bem, uma outra maneira de escrever $1 + \frac{1}{n}$ para $n \not= 0$ é $\frac{n+1}{n}$. Então eu posso reescrever o somatório como:

$\sum_{n = 1}^{127}\log_2\left(\frac{n+1}{n}\right)$

Agora, vamos pegar a propriedade que usamos no artigo Somando logs: alternativa para agregar multiplicação em SQL: o log da multiplicação de dois números é a soma do log desses números. E tomemos dois números consecutivos: $a$ e $a+1$.

$\log_2\left(\frac{a+1}{a}\right) + \log_2\left(\frac{a+2}{a+1}\right)$

Dentro da condição de existência desse problema, o número $a$ arbitrário é um inteiro estritamente positivo (afinal, ele vai ser algo entre 1 e 127). Assim, podemos tranquilamente transformar essa soma em uma multiplicação:

$\log_2\left(\frac{a+1}{a} \times \frac{a+2}{a+1}\right)$

E, bem como $a$ é estritamente positivo, eu tenho que $a+1$ também será. Logo, eu posso simplificar essa conta ao remover o fator $a+1$ do numerador do número do lado esquerdo e do denominador do lado direito, ficando só com isso aqui:

$\log_2\left(\frac{a+2}{a}\right)$

E, bem, em forma de somatório fizemos isso:

$\sum_{n=a}^{a+1} \log_2\left(\frac{n+1}{n}\right) = \log_2\left(\frac{a+2}{a}\right)$

Podemos usar aqui uma indução matemática? Vejamos… vamos supor que a soma de $a$ até $a+q$ de $\log_2\left(\frac{n+1}{n}\right)$ seja $\log_2\left(\frac{a+q+1}{a}\right)$. Será que isso vale para $a+q+1$?

Supondo que o passo anterior até $a+q$ seja válido, então podemos desmembrar o somatório em dois pedaços:

$\sum_{n=a}^{a+q+1} \log_2\left(\frac{n+1}{n}\right) = \sum_{n=a}^{a+q} \log_2\left(\frac{n+1}{n}\right) + \log_2\left(\frac{a+q+2}{a+q+1}\right) = \\ \log_2\left(\frac{a+q+1}{a}\right) + \log_2\left(\frac{a+q+2}{a+q+1}\right) \therefore \\ \sum_{n=a}^{a+q+1} \log_2\left(\frac{n+1}{n}\right) = \log_2\left(\frac{a+q+2}{a}\right) \square$

Com isso, temos a hipótese indutiva (que o somatório de $a$ até $b$ vai ser igual a $\log_2\left(\frac{b+1}{a}\right)$) o passo indutivo em que partimos desse ponto e somamos até $b+1$ obtendo $\log_2\left(\frac{b+2}{a}\right)$ tal qual a hipótese indutiva e temos o caso base da soma de $a$ com $a+1$ resultando na fórmula da hipótese indutiva $\log_2\left(\frac{a+2}{a}\right)$.

Logo, o somatório original:

$\sum_{n = 1}^{127}\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)$

Que pode ser reescito como

$\sum_{n = 1}^{127}\log_2\left(\frac{n+1}{n}\right)$

Ao aplicar a fórmula que descobrimos fica:

$\log_2\left(\frac{127+1}{1}\right) = \log_2 128 = 7$

E tudo isso derivado simplesmente do fato de que a soma de logs é o log da multiplicação.

Uma variante do problema

Eu também me deparei com uma variante dessa questão, em que ela se apresentava assim:

$\log_2\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \log_2\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \log_2\left(1 - \frac{1}{128}\right) = ?$

Vamos fazer os mesmos processos? Aqui a soma vai de 2 até 128 do seguinte termo:

$\log_2\left(1 - \frac{1}{n}\right)$

Ou seja, a expressão do começo começo pode ser descrita como o seguinte somatório:

$\sum_{n=2}^{128}\log_2\left(1 - \frac{1}{n}\right)$

Ao fazer essa subtração, temos que o termo fica assim:

$\frac{n-1}{n}$

Ou seja:

$\sum_{n=2}^{128}\log_2\left(1 - \frac{1}{n}\right) = \sum_{n=2}^{128}\log_2\left(\frac{n-1}{n}\right)$

Pegando os valores para somar $a$ e $a+1$ (para $a \ge 2$):

$\log_2\left(\frac{a-1}{a}\right) + \log_2\left(\frac{a}{a+1}\right) = \log_2\left(\frac{a-1}{a+1}\right)$

Vou colocar minha hipótese indutiva que o somatório de $a$ até $a+q$ seja:

$\sum_{n=a}^{a+q}\log_2\left(\frac{n-1}{n}\right) = \log_2\left(\frac{a-1}{a+q}\right)$

Então, o passo indutivo seria sair disso para até $a+q+1$:

$\sum_{n=a}^{a+q+1}\log_2\left(\frac{n-1}{n}\right) = \sum_{n=a}^{a+q}\log_2\left(\frac{n-1}{n}\right) + \log_2\left(\frac{a+q}{a+q+1}\right) = \log_2\left(\frac{a-1}{a+q}\right) + \log_2\left(\frac{a+q}{a+q+1}\right) = \log_2\left(\frac{a-1}{a+q+1}\right)$

Como isso vale para $a = 2$:

$\sum_{n=2}^{2}\log_2\left(\frac{n-1}{n}\right) = \log_2\left(\frac{2-1}{2}\right)$

Temos que nossa indução está demonstrada. Logo, aquele somatório é:

$\sum_{n=2}^{128}\log_2\left(\frac{n-1}{n}\right) = \log_2\left(\frac{2-1}{128}\right) = \log_2 2^{-7} = -7$

Soma telescópica?

Buscando mais informações sobre essa questão, acabei por encontrar o termo “série telescópica”. Eu queria colocar uma URL bacana para este artigo, e na minha cabeça só vinha “soma-logs”, porém seria o mesmo exato slug que usei no artigo de Janeiro: “soma-logs”.

Mas por que o nome “telescópico”?

Bem, visualize um telescópio. Pode ser desses que fazem a representação de piratas na era da pirataria:

Hydrargyrum, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons. Rotacionado e invertido horizontalmente para efeitos de encaixe na página, sem outras edições.

Note que ele está expandido, porém seus componentes se encaixam um no outro. E, devido a esse encaixe, podemos retrair ele completamente, até que fique minúsculo, do tamanho de apenas um segmento. Essa capacidade de “remover” os elementos intermediários e fazer esse colapso é o que dá a origem à alcunha “telescópica” de uma série: os elementos intermediários dela se cancelam e se “unem”. E no caso usei especificamente “soma telescópica” porque esta série em específica era uma soma.