Esses dias, fui apresentado com a seguinte questão no Twitter: https://twitter.com/pickover/status/1529582555359494144

Bem, vamos lá… Como calcular o comprimento desse barbante?

O problema

Um barbante é colado de modo simestricamente perfeito ao redor de um cilindro. Esse barbante dá exatas quatro voltas da base do cilindro até o seu topo. A circunferência do cilindro é 4cm e seu comprimento é 12cm. Qual o comprimento do cilindro?

Estratégias de solução

Existem algumas possibilidades para resolver esse problema. Um deles, o jeito mais esperto, é perceber que você pode “recortar” um lado do cilindro e planificar ele. Assim sendo, obtém-se um retângulo de 12cm por 4cm, e o fio forma a cada 3cm uma inclinação reta completa em cima do planificado, como se fossem 4 retângulos de 3cm por 4cm postos lado a lado e o barbante seria a soma das diagonais desses 4 retângulos.

Outro jeito de se fazer é usando comprimento de arco. Para isso, precisamos definir uma função $\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^3$ cujos pontos, para $t \in \left[0, 1\right]$, defina todas as posições do barbante. Com essa função em mãos, podemos calcular o tamanho do arco variando $\left(t, t'\right) = (t, t + \epsilon), \lim \epsilon = 0$.

Definindo a função “posição do barbante”

Essa função ela é de tal forma que:

$pos(t) = (comp_x(t), comp_y(t), comp_z(t))$

Onde por definição do problema $comp_z$ é diretamente proporcional a $t$.

E também precisa ser definida em $t \in \left[0, 1\right]$. Porém, olha que bacana se eu pegar um $v \equiv \frac{t}{12}$:

$pos(v) = (comp2_x(v), comp2_y(v), comp2_z(v))$

E olha que interessante… como $comp2_z(v)$ precisa ser diretamente proporcional a $v$ e crescer de modo linear, começando de 0 e indo até 12, como $v \equiv \frac{t}{12}$ então a função precisa estar definida no intervalo $v \in \left[0, 12\right]$. Portanto, $comp2_z(v) = v$. Claro, isso assumindo que o cilindro está com a base encontasndo no plano $xy$ e que ele se estende na direção do eixo z.

Agora precisamos definir $comp2_x(v), comp2_y(v)$. O que sabemos sobre esses componentes? Basicamente que eles formam círculos contínuos e conforma $v$ cresce o giro é sempre para o mesmo lado. Assumindo que a origem das coordenadas $xy$ seja o centro do rolo cilíndrico, teremos que $\left(comp2_x(\theta), comp2_y(\theta)\right) = (\cos(\theta)\times r, \sin(\theta)\times r)$. Onde $r$ é o valor do raio.

Agora, falta converter de $v$ para $\theta$. Como são 4 voltas, em um total de 12cm, então a cada variação de 3cm em $v$ temos que demos uma volta completa. Em outras palavras, seja $to_\theta(v) \mapsto \theta$ a função que transforma $v$ em $\theta$:

$to_\theta(v) = \theta\\ to_\theta(v + 3) = \theta + 2\times\pi\\$

E quanto $v = 0$, temos que $to_\theta(v) = 0$ também. Portanto:

$to_\theta(v) = \frac{2}{3}\times\pi\times{v}$

Então temos que:

$pos(v) = \left\{ \begin{array}{ll} \cos(\frac{2}{3}\times\pi\times{v})\times r & x\\ \sin(\frac{2}{3}\times\pi\times{v})\times r & y\\ v & z \end{array} \right.$

Qual o valor exato de $r$?

Temos que a circunferência do cilindro é de 4cm. Portanto, $circ = 2\times\pi\times r = 4$. Ou seja:

$r = \frac{2}{\pi}$

O que é o comprimento de arco?

Bem, peguemos uma função qualquer. Por exemplo:

$f(x) = \frac{2}{3}\sqrt{x^3}$

Quanto de tinta se gastaria cobrindo essa curva no intervalo de $x \in \left[4, 9\right]$. Como calcular isso?

Para isso, precisamos definir os pontos que irá compor nosso arco. Por exemplo, ele começa em $(4,5\frac{1}{3})$ e vai até $(9,18)$. Podemos transformar isso em uma função do “tempo” da caneta percorrendo esse intervalo:

$pos_f(t) = (t, \frac{2}{3}\sqrt{t^3})$

Se pegarmos $t'$, um infinitésimo depois de $t$, teremos então praticamente uma reta que vai de $\overrightarrow{pos_f(t), pos_f(t')}$. Então, basicamente se conseguirmos pegar a soma de todos os intervalos infinitesimais do começo até o final, então teremos calculado o comprimento do arco nesse intervalo. Ou seja:

$\int^9_4 len(t)dt$

E como é definido o comprimento do segmento $\overrightarrow{pos_f(t), pos_f(t')}$? Bem, basicamente, pitágoras, já que $t'$ é basicamente um infinitésimo depois de $t$, então próximo o suficiente de ser um segmento de reta. O jeito de se calcular $pos_f(t)$ nós já conhecemos, e para calcular $pos_f(t')$? Bem, isso vai dependenter do quanto a função $pos_f$ varia de acordo com o seu argumento. Portanto, $pos_f(t') = pos_f(t) + pos_f'(t)\times(t'-t)$, onde $pos_f'(t) = \frac{pos_f(t)}{dt}$ é a derivada de $pos_f(t)$.

Como se interessa a distância entre os pontos $pos_f(t), pos_f(t')$, podemos transladar ambos os pontos de tal modo que $pos_f(t)$ seja coincidente com a origem.

Demonstração dessa propriedade será feita em outro blog post.

Nessa situação, $pos_f(t')$ após o translado vai coincidir com $pos_f'(t)\times(t'-t)$. Como a ideia é pegar isto em um instante infinitesimal, podemos considerar que o movimento do arco nesse infinitésimo de deslocamento foi uma reta infinitesimal. Então, vai ser basicamente a magnitude $|pos_f'(t)\times(t'-t)|$, pitágoras como antes mencionado.

Só recapitulando a função:

$pos_f(t) = (t, \frac{2}{3}\sqrt{t^3})$

Portanto, a derivada dela em $t$ será:

$pos_f'(t) = (1, \sqrt{t})$

Portanto, o tanto de arco criado no infinitésimo ao redor do tempo $t$ será de:

$|pos_f'(t)| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{t})^2} =\\ \sqrt{1 + t}$

Como se deseja a integral dessa função de 4 até 9,

$\int^9_4 \sqrt{1 + t} dt = \left. \frac{2}{3}\left(\sqrt{1 + t}\right)^3\right|^9_4 =\\ \frac{2}{3} \left(10\sqrt{10} - 5\sqrt{5}\right) = \\ \frac{10}{3}\sqrt{5}\left(2\sqrt{2} - 1\right)$

Então, o comprimento do arco é isso. Em termos leigos pode ser entendimento com o quanto se gasta de caneta para percorrer uma distância em uma função.

Aqui achamos o comprimento de uma função $\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$. Porém, como na verdade a função acaba codificando uma coordenada no plano cartesiano, o que nos interessou foi o mapeamento $\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}^2$, onde a primeira ordenada é $X$.

Nada impede de pegar este conceito e expandir, seja para um par ordenado onde nenhuma das funções sejam exatamente $X$, seja para $\mathbb{R}^3$.

Então, para uma curva descrita pela função $\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}^3$:

$f(t) = \left\{ \begin{array}{l} X(t)\\ Y(t)\\ Z(t) \end{array} \right.$

O comprimento de arco dela entre os pontos $a$ e $b$ será de:

$arclen(a, b, f) = \int^b_a\sqrt{X'(t)^2+Y'(t)^2+Z'(t)^2}dt$

Calculando o comprimento de arco do barbante

Temos a função que descreve a curva da bastante:

$pos(v) = \left\{ \begin{array}{ll} \cos(\frac{2}{3}\times\pi\times{v})\times r & x\\ \sin(\frac{2}{3}\times\pi\times{v})\times r & y\\ v & z \end{array} \right.$

A derivada em relação ao parâmetro $v$ é:

$pos'(v) = \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{2}{3}\times\pi\times\sin(\frac{2}{3}\times\pi\times{v})\times r & x\\ \frac{2}{3}\times\pi\times\cos(\frac{2}{3}\times\pi\times{v})\times r & y\\ 1 & z \end{array} \right.$

Aplicando o valor calculado de $r$:

$pos'(v) = \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{2}{3}\times\pi\times\sin(\frac{2}{3}\times\pi\times{v})\times \frac{2}{\pi} & x\\ \frac{2}{3}\times\pi\times\cos(\frac{2}{3}\times\pi\times{v})\times \frac{2}{\pi} & y\\ 1 & z \end{array} \right. \\= \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{4}{3}\times\sin(\frac{2}{3}\times\pi\times{v}) & x\\ \frac{4}{3}\times\cos(\frac{2}{3}\times\pi\times{v}) & y\\ 1 & z \end{array} \right.$

O comprimento de arco será:

$arclen(a, b, pos) = \int^b_a\sqrt{ \left(-\frac{4}{3}\times\sin(\frac{2}{3}\times\pi\times{v})\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\times\cos(\frac{2}{3}\times\pi\times{v})\right)^2 + 1^2 }dv\\ = \int^b_a\sqrt{ \frac{16}{9}\times\sin(\frac{2}{3}\times\pi\times{v})^2 + \frac{16}{9}\times\cos(\frac{2}{3}\times\pi\times{v})^2 + 1 }dv$

Usando o fato de que $\sin(\theta)^2 + \cos(\theta)^2 = 1$:

$arclen(a, b, pos) = \int^b_a\sqrt{ \frac{16}{9} + 1 }dv = \int^b_a\sqrt{ \frac{25}{9} }dv = \int^b_a\frac{5}{3}dv = \left.v\times\frac{5}{3}\right|^a_b$

No nosso caso em específico, o valor inicial é 0 e o final é 12:

$arclen(0, 12, pos) = \left.v\times\frac{5}{3}\right|^{12}_0 = 12\times\frac{5}{3} - 0\times\frac{5}{3} \\ = 20$

Resumo

• Identifiquei uma função que representa as posições do barbante
• Fiz ajuste fino nessa função de tal modo que a ordenada no eixo Z em $F(v)$ fosse $v$
• Reduzi o problema para um problema de comprimento de arco
• Relembrei a fórmula para achar o comprimento de arco de uma função $\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}^n$
• Apliquei a fórmula de comprimento de arco na curva achada anteriormente
• Foi usada a identidade pitagórica que descreve que $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ para deixar a integral mais simples
• Calculei a integral resultante, $\left.v\times\frac{5}{3}\right|^a_b$
• Dá 20